Formules de trigonométrie
Les relations essentielles pour travailler avec les angles, les sinus et les cosinus.
Identités fondamentales
\[\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\qquad\text{et}\qquad
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\quad(\cos(x)\ne0)\]
\[\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\quad(\sin(x)\ne0)
\]
La tangente n’est pas définie lorsque \(\cos(x)=0\), et la cotangente n’est pas définie lorsque \(\sin(x)=0\).
Valeurs remarquables
| Angle | Radians | \(\cos\) | \(\sin\) | \(\tan\) | \(\cot\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | \(0\) | non définie |
| \(30^\circ\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | \(\sqrt3\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\sqrt3\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(1\) | non définie | \(0\) |
Degrés et radians
\[180^\circ=\pi\ \text{rad}\qquad\text{et}\qquad
\text{angle en radians}=\text{angle en degrés}\times\frac{\pi}{180}\]
Un tour complet vaut \(360^\circ=2\pi\) rad. Ainsi, \(90^\circ=\frac{\pi}{2}\), \(60^\circ=\frac{\pi}{3}\) et \(45^\circ=\frac{\pi}{4}\).
Angles associés
- Angles supplémentaires \((\pi - x)\) :
- \(\sin(\pi - x) = \sin(x)\)
- \(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\)
- \(\tan(\pi - x) = -\tan(x)\)
- \(\cot(\pi - x) = -\cot(x)\)
- Angles antisupplémentaires \((\pi + x)\) :
- \(\sin(\pi + x) = -\sin(x)\)
- \(\cos(\pi + x) = -\cos(x)\)
- \(\tan(\pi + x) = \tan(x)\)
- \(\cot(\pi + x) = \cot(x)\)
- Angles opposés \((-x)\) :
- \(\sin(-x) = -\sin(x)\)
- \(\cos(-x) = \cos(x)\)
- \(\tan(-x) = -\tan(x)\)
- \(\cot(-x) = -\cot(x)\)
- Angles complémentaires \(\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\) :
- \(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)\)
- \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)\)
- \(\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)\)
- \(\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)\)
En degrés, on remplace \(\pi\) par \(180^\circ\) et \(\frac{\pi}{2}\) par \(90^\circ\).
Formules d'addition
\[\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)\]
\[\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)\]
\[\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)\]
\[\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\]
\[\tan(a+b)=\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}
\quad\text{si }\cos(a)\ne0,\cos(b)\ne0\text{ et }\tan(a)\tan(b)\ne1\]
\[\tan(a-b)=\frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}
\quad\text{si }\cos(a)\ne0,\cos(b)\ne0\text{ et }\tan(a)\tan(b)\ne-1\]
Formules de duplication
\[\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\]
\[\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)
=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)\]
\[\tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}
\quad\text{si }\cos(x)\ne0\text{ et }\tan^2(x)\ne1\]
Formules de Simpson (somme-produit)
\[\cos(a)+\cos(b)=2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)
\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
\[\cos(a)-\cos(b)=-2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)
\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
\[\sin(a)+\sin(b)=2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)
\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
\[\sin(a)-\sin(b)=2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)
\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\]
\[\tan(a)+\tan(b)=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}
\quad\text{si }\cos(a)\ne0\text{ et }\cos(b)\ne0\]
\[\tan(a)-\tan(b)=\frac{\sin(a-b)}{\cos(a)\cos(b)}
\quad\text{si }\cos(a)\ne0\text{ et }\cos(b)\ne0\]
Formules en fonction de la moitié de l'angle
\[\cos(a)=\frac{1-\tan^2\left(\frac{a}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{a}{2}\right)}\quad\text{si }\cos\left(\frac{a}{2}\right)\ne0\]
\[\sin(a)=\frac{2\tan\left(\frac{a}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{a}{2}\right)}\quad\text{si }\cos\left(\frac{a}{2}\right)\ne0\]
\[\tan(a)=\frac{2\tan\left(\frac{a}{2}\right)}{1-\tan^2\left(\frac{a}{2}\right)}\quad\text{si }\cos\left(\frac{a}{2}\right)\ne0\text{ et }\tan^2\left(\frac{a}{2}\right)\ne1\]