Formules de puissances et de racines
Les règles de calcul sur les exposants, les racines carrées et les puissances de 10.
Règles sur les puissances
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit, même base | \(a^m\times a^n=a^{m+n}\) | \(2^3\times2^4=2^7\) |
| Quotient, même base | \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\) | \(\frac{5^6}{5^2}=5^4\) |
| Puissance d’une puissance | \((a^m)^n=a^{mn}\) | \((3^2)^4=3^8\) |
| Puissance d’un produit | \((ab)^n=a^n b^n\) | \((2\times5)^3=2^3\times5^3\) |
| Puissance d’un quotient | \((\frac ab)^n=\frac{a^n}{b^n}\), \(b\ne0\) | \((\frac23)^2=\frac49\) |
| Exposant nul | \(a^0=1\), \(a\ne0\) | \(7^0=1\) |
| Exposant négatif | \(a^{-n}=\frac1{a^n}\), \(a\ne0\) | \(2^{-3}=\frac18\) |
Racines carrées
\[\sqrt{a^2}=|a|\qquad
\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\quad(a\ge0,\ b\ge0)\]
\[\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}
\quad(a\ge0,\ b>0)\qquad(\sqrt a)^2=a\quad(a\ge0)\]
Attention : en général, \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\). Par exemple, \(\sqrt{9+16}=5\), tandis que \(\sqrt9+\sqrt{16}=7\).
Puissances de 10 et notation scientifique
- \(10^n\) est égal à \(1\) suivi de \(n\) zéros si \(n\) est un entier positif.
- \(10^{-n}=\frac1{10^n}\), par exemple \(10^{-3}=0{,}001\).
- Une écriture scientifique est de la forme \(a\times10^n\), avec \(1\le|a|<10\) et \(n\in\mathbb Z\).
\[45\,000=4{,}5\times10^4\qquad\qquad
0{,}00072=7{,}2\times10^{-4}\]
À ne pas confondre
Les règles de produit et de quotient s’appliquent aux puissances de même base, pas à une somme :
\(a^m+a^n\) ne se simplifie pas en \(a^{m+n}\).