Formules de dérivation
Les dérivées usuelles et les règles pour dériver une somme, un produit ou une composée.
Dérivées usuelles
| Fonction \(f(x)\) | Dérivée \(f'(x)\) | Conditions |
|---|---|---|
| \(c\) (constante) | \(0\) | \(c\in\mathbb R\) |
| \(x\) | \(1\) | \(x\in\mathbb R\) |
| \(x^n\) | \(n x^{n-1}\) | \(n\in\mathbb N^*\) |
| \(\frac1x\) | \(-\frac1{x^2}\) | \(x\ne0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac1{2\sqrt{x}}\) | \(x>0\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(x\in\mathbb R\) |
| \(\ln(x)\) | \(\frac1x\) | \(x>0\) |
| \(\sin(x)\) | \(\cos(x)\) | \(x\in\mathbb R\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\sin(x)\) | \(x\in\mathbb R\) |
| \(\tan(x)\) | \(\frac1{\cos^2(x)}\) | \(\cos(x)\ne0\) |
Règles de calcul
| Expression | Dérivée |
|---|---|
| \(k u\) | \(k u'\) |
| \(u+v\) | \(u'+v'\) |
| \(u v\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\frac{u}{v}\) | \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\), avec \(v\ne0\) |
| \(f(u(x))\) | \(f'(u(x))\,u'(x)\) (dérivée d’une composée) |
Composées à connaître
\[(u^n)'=n\,u^{n-1}u'\qquad (e^u)'=u'e^u\qquad
(\ln u)'=\frac{u'}{u}\quad(u>0)\]
\[(\sin u)'=u'\cos u\qquad(\cos u)'=-u'\sin u\]
Exemple : si \(f(x)=(3x+1)^4\), alors \(f'(x)=4(3x+1)^3\times3=12(3x+1)^3\).