Les puissances

Sommaire

Rappel : les ensembles de nombres

Les ensembles de nombres permettent de classer les nombres selon leurs propriétés.

\(\mathbb{N}\) : les entiers naturels, est le premier ensemble de nombres, celui qui permet de compter les objets : \(0\), \(1\), \(2\), \(3\)...
\(\mathbb{Z}\) : les entiers relatifs, positifs, négatifs ou nuls, comme \(-7\).
\(\mathbb{D}\) : les nombres décimaux, dont l'écriture décimale est finie. Par exemple, \(\dfrac{45}{10}=4,5\).
\(\mathbb{Q}\) : les nombres rationnels, qui peuvent s'écrire comme une fraction \(\dfrac{a}{b}\), avec \(a\) entier et \(b\) entier non nul.
Par exemple, \(\dfrac{1}{3}=0,333...\).
\(\mathbb{R}\) : les nombres réels, qui comprennent notamment les nombres rationnels et les nombres irrationnels comme \(\sqrt{2}\) et \(\pi\).

Les ensembles sont emboîtés : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).

Qu'est-ce qu'une puissance ?

Pour un nombre \(a\) et un entier naturel \(n\) strictement positif, \(a^n\) est le produit de \(n\) facteurs tous égaux à \(a\).

Définition
\[a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\text{ facteurs}}\]
\(a\) est la base et \(n\) est l'exposant.

\(a^n\) se lit « \(a\) puissance \(n\) » ou « \(a\) exposant \(n\) » ;
\(a^2\) se lit « \(a\) au carré » ;
\(a^3\) se lit « \(a\) au cube ».

Exemples :

\(2^5=2\times2\times2\times2\times2=32\)
\((-3)^2=(-3)\times(-3)=9\)
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{27}\)
\(2000^1=2000\)
\(0^{32}=0\)

Signe d'une puissance

Une puissance de base positive est toujours positive.
Exemple : \(2^3=8\).
Une puissance de base négative est positive si l'exposant est pair.
Exemple : \((-3)^2=9\).
Une puissance de base négative est négative si l'exposant est impair.
Exemple : \((-3)^3=-27\).

Attention aux parenthèses : \((-2)^4=16\), tandis que \(-2^4=-(2^4)=-16\). Sans parenthèses, l'exposant s'applique seulement au nombre \(2\), puis le signe moins est appliqué.

À toi : calcule \((-3)^3\), \(-4^3\), \((-12)^2\) et \(-6^4\).

\((-3)^3=-27\), \(-4^3=-64\), \((-12)^2=144\) et \(-6^4=-1296\).

Les propriétés des puissances

Produit de puissances de même base

Règle
Pour une même base \(a\), on additionne les exposants : \[\displaystyle a^n\times a^p=a^{n+p}\]

\(5^3\times5^4=5^{3+4}=5^7\).
En effet, les deux facteurs regroupent au total sept facteurs égaux à \(5\).

À toi : réduis \(2^2\times2^4\), \(3^6\times3^2\), \(8^3\times8\) et \(3\times3^2\times3^3\).

\(2^6\), \(3^8\), \(8^4\) et \(3^6\).

Cette règle ne s'applique qu'à des puissances de même base : \(5^2\times4^3\) ne se réduit pas en une puissance unique de cette façon. Elle ne s'applique pas non plus à une addition : \(3^3+3^2\neq3^5\).

Quotient de puissances de même base

Règle
Pour \(a\neq0\), on soustrait les exposants : \[\displaystyle \frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}\]

\(\displaystyle\frac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3=8\).

À toi : réduis \(\dfrac{5^4}{5^3}\), \(\dfrac{11^2}{11}\) et \(\dfrac{7^{27}}{7^{23}}\).

\(5\), \(11\) et \(7^4\).

Exposant zéro

Pour \(a\neq0\), \[a^0=1\]
Par exemple, \(\displaystyle\frac{a^3}{a^3}=a^{3-3}=a^0\), mais aussi \(\dfrac{a^3}{a^3}=1\).

\(0^0\) n'est pas défini dans ce cours.

Exposant négatif

Règle
Pour \(a\neq0\) et un entier \(n\), \[\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}\]

\(\displaystyle 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\) et \(\displaystyle 3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\).
En particulier, l'inverse de \(a\) s'écrit \(a^{-1}=\dfrac{1}{a}\).

Une base ne peut pas être nulle lorsqu'elle est élevée à un exposant négatif : la division par zéro est impossible.

À toi : calcule \(3^{-2}\) et \(5^{-1}\).

\(\displaystyle 3^{-2}=\frac{1}{9}\) et \(\displaystyle 5^{-1}=\frac{1}{5}\).

Puissance d'un produit ou d'un quotient

Règles
\[(a\times b)^n=a^n\times b^n\]
\[\displaystyle\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \text{ avec } b\neq0\].

\((2\times3)^4=2^4\times3^4\) et \(\displaystyle\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{2^3}{5^3}=\frac{8}{125}\).

Une puissance ne se distribue pas sur une addition : \((x+5)^2\neq x^2+5^2\). En effet, \((x+5)^2=x^2+10x+25\).

Puissance d'une puissance

Règle
On multiplie les exposants : \[\displaystyle(a^n)^p=a^{n\times p}\]

\((2^3)^2=2^{3\times2}=2^6\).

À toi : simplifie \((5^2)^3\), \((2^2)^0\), \((5^2)^1\) et \((1^{24})^3\).

\(5^6\), \(1\), \(5^2\) et \(1\).

Exercices récapitulatifs

Exercice 1 — Calcule.

\((3+5)^2\)
\(\left(\dfrac{7-6}{3^2}\right)^3\)
\(2^{-2}\times2\)
\(7^{14}\times7^{-13}\)
\((4\times5)^2\)

a) \(64\) ; b) \(\dfrac{1}{729}\) ; c) \(\dfrac{1}{2}\) ; d) \(7\) ; e) \(400\).

Exercice 2 — Réduis en utilisant uniquement des exposants positifs.

\(a^{-3}\times a^5\)
\(b^{-5}\times(-3b^3)\)
\((b^{-3})^{-2}\)
\((4x^2y^{-4})^{-2}\)
\(\left(\dfrac{a^{-3}}{b^2}\right)^5\)
\(\dfrac{a^3b^{-2}}{a^{-3}b^4}\)

a) \(a^2\) ; b) \(-\dfrac{3}{b^2}\) ; c) \(b^6\) ; d) \(\dfrac{y^8}{16x^4}\) ; e) \(\dfrac{1}{a^{15}b^{10}}\) ; f) \(\dfrac{a^6}{b^6}\).

Exercice 3 — Calcule.

\(0^{14}\)
\((-2)^3\)
\((-1)^{10}\)
\(3^2\times3^8\)
\(\left((-3)^2\right)^2\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\)
\(4^2\times4\times4^{-2}\)
\(\dfrac{7^9}{7^{11}}\)
\(\dfrac{3^2}{7^0}\)
\(\left(\dfrac{1}{2}\times4\right)^3\)
\(\dfrac{(-5)^4}{(-5)^2}\)

a) \(0\) ; b) \(-8\) ; c) \(1\) ; d) \(3^{10}\) ; e) \(81\) ; f) \(\dfrac{1}{4}\) ; g) \(4\) ; h) \(\dfrac{1}{49}\) ; i) \(9\) ; j) \(8\) ; k) \(25\).

Exercice 4 — Simplifie les expressions.

\(\left(7^{-24}\times7^{-26}\times7^{51}\right)^2\)
\(\dfrac{2^5\times3^8}{3^5\times2^3}\)
\((2\times3)^5\times3^{-3}\times2\times2^{-4}\times3^{-1}\)
\(\dfrac{-3^2\times(-3)^3\times3^5}{3^3\times(-3)^4}\)
\(\left(\dfrac{17^0}{17^{-3}\times17^2}\right)^2\)
\((5^{-4}\times5^5)^3\)
\(8\times(7\times5)^5\times\frac{5^2\times7^3}{7^4\times5^5}\times(7^{-2})^2\)
\(\frac{5^{12}\times10^{-3}\times3^8}{10^{-5}\times3^8\times5^{10}}\)

a) \(7^2\) ; b) \(2^2\times3^3\) ; c) \(12\) ; d) \(27\) ; e) \(17^2\) ; f) \(5^3\) ; g) \(200\) ; h) \(2500\).

Exercice 5 — Trouve les exposants manquants.

\(\left(\dfrac{4^2}{4\times4^{-3}}\right)^4=4^{(\ \ )}\)
\(\left(13^2\times13^{-2}\right)^4=13^{(\ \ )}\)
\(\dfrac{9^3\times5^{-2}}{9^{-3}\times5^4}=9^{(\ \ )}\times5^{(\ \ )}\)

a) \(4^{16}\) ; b) \(13^0\) ; c) \(9^6\times5^{-6}\).

Puissances de 10

Pour \(n\) entier positif, \(10^n\) est égal à \(1\) suivi de \(n\) zéros. Pour \(n\) entier positif, \(\displaystyle 10^{-n}=\frac{1}{10^n}\).

\(10^3=1000\)
\(10^0=1\)
\(10^{-3}=\frac{1}{1000}=0,001\)

Multiplier par \(10^n\) décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite si \(n\) est positif, et vers la gauche si \(n\) est négatif.
\(4,32\times10^3=4320\) et \(4,32\times10^{-3}=0,00432\).

À toi : calcule \(8\times10^{-3}\), \(-5,43\times10^5\), \(-2,8\times10^{-4}\), \(3,005\times10^4\) et \(1,32\times10^0\).

\(0,008\) ; \(-543000\) ; \(-0,00028\) ; \(30050\) ; \(1,32\).

L'écriture scientifique

L'écriture scientifique permet d'écrire simplement des nombres très grands ou très petits. Elle est de la forme \(a\times10^n\), où \(n\) est un entier et \(a\) un nombre décimal tel que \(1\leq |a|<10\).

Définition
Un nombre écrit en notation scientifique a exactement un chiffre non nul avant la virgule dans son coefficient (en valeur absolue).

\(742=7,42\times10^2\) : c'est une écriture scientifique.
\(0,00432=4,32\times10^{-3}\) : c'est une écriture scientifique.
\(0,75\times10^{-1}\) n'est pas une écriture scientifique : \(0,75<1\).
\(42,9\times10^6\) n'est pas une écriture scientifique : \(42,9\geq10\).

Pour trouver la notation scientifique, déplace la virgule pour obtenir un coefficient compris entre \(1\) et \(10\). Le nombre de rangs déplacés donne l'exposant de 10 :

virgule déplacée vers la gauche : exposant positif ;
virgule déplacée vers la droite : exposant négatif.

\(300\,000=3\times10^5\) : la virgule est déplacée de cinq rangs vers la gauche.
\(0,00432=4,32\times10^{-3}\) : la virgule est déplacée de trois rangs vers la droite.

Exemple de comparaison : la distance Soleil–Mars est d'environ \(2,29\times10^8\) km et la distance Soleil–Terre d'environ \(1,5\times10^8\) km. Comme \(1,5<2,29\), la Terre est la plus proche du Soleil.

Préfixes et ordres de grandeur

Les préfixes des unités sont associés à des puissances de 10. En voici quelques-uns :

Préfixes des unités et facteurs multiplicatifs
Préfixe	Abréviation	Facteur multiplicatif
péta	P	\(10^{15}\) (= 1 000 000 000 000 000)
téra	T	\(10^{12}\) (= 1 000 000 000 000)
giga	G	\(10^9\) (= 1 000 000 000)
méga	M	\(10^6\) (= 1 000 000)
kilo	k	\(10^3\) (= 1 000)
hecto	h	\(10^2\) (= 100)
déca	da	\(10^1\) (= 10)
aucun	—	\(10^0\) (= 1)
déci	d	\(10^{-1}\) (= 0,1)
centi	c	\(10^{-2}\) (= 0,01)
milli	m	\(10^{-3}\) (= 0,001)
micro	μ	\(10^{-6}\) (= 0,000001)
nano	n	\(10^{-9}\) (= 0,000000001)
pico	p	\(10^{-12}\) (= 0,000000000001)
femto	f	\(10^{-15}\) (= 0,000000000000001)

Exercices sur l'écriture scientifique

Exercice 1. Laquelle des propositions est l'écriture scientifique de \(360\,000\) ?

\(3,6\times10^5\)
\(36\times10^4\)
\(3,6\times10^4\)

a) \(3,6\times10^5\).

Exercice 2. Indique si chaque nombre est écrit en notation scientifique :

\(5,6\times10^2\)
\(3\)
\(463\times10^1\)
\(0,13\times10^{14}\)
\(6,7652\times10^{-2}\)
\(9,1\times5^3\)

a) Oui ; b) Non, ce n'est pas écrit sous la forme demandée ; c) Non, le coefficient est supérieur à 10 ; d) Non, le coefficient est inférieur à 1 ; e) Oui ; f) Non, la puissance doit être une puissance de 10.

Exercice 3. Écris en notation scientifique : \(78\), \(0,03\), \(875\,200\), \(10^7\), \(0,1625\), \(2\,765\,098\) et \(0,0000857536\).

\(7,8\times10^1\) ; \(3\times10^{-2}\) ; \(8,752\times10^5\) ; \(1\times10^7\) ; \(1,625\times10^{-1}\) ; \(2,765098\times10^6\) ; \(8,57536\times10^{-5}\).

Exercice 4. Calcule puis donne le résultat en notation scientifique si cela s'y prête.

\((4\times10^{-3})(5\times10^2)\)
\((6\times10^6)\div(3\times10^3)\)
\(\dfrac{37}{10^6}\)
\(3000\times0,0000005\times2000000\)
\(10^3+10^7\)
\(10^{-3}+10^3\)

a) \(2\times10^0=2\) ; b) \(2\times10^3\) ; c) \(3,7\times10^{-5}\) ; d) \(3\times10^3\) ; e) \(1,0001\times10^7\) ; f) \(1000,001=1,000001\times10^3\).

À retenir

Produit de puissances de même base : on additionne les exposants.
Quotient de puissances de même base : on soustrait les exposants.
Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants.
Un exposant négatif signifie que l'on prend l'inverse de la puissance correspondante.
Une écriture scientifique est de la forme \(a\times10^n\), avec \(1\leq|a|<10\).

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Exercices sur les puissances

Pratiquer les notions vues dans ce cours.