Sommaire
Les probabilités — notions de base
Une probabilité mesure la possibilité qu'un événement se produise. Pour la calculer, on commence par décrire les résultats possibles, puis on compte ceux qui nous intéressent.
Vocabulaire des probabilités
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat avant de la réaliser.
- Une issue est un résultat possible de l'expérience.
- L'univers, souvent noté
Ω, est l'ensemble de toutes les issues possibles. - Un événement est un ensemble d'issues. Il est réalisé si l'issue obtenue lui appartient.
On lance un dé équilibré à six faces. L'univers est
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L'événement « obtenir un nombre pair »
contient les issues {2, 4, 6}.
QCM : On lance une pièce. Quel est l'univers de cette expérience ?
{Pile, Face}{1, 2, 3, 4, 5, 6}{Pile}
La bonne réponse est a) : les deux issues possibles sont Pile et Face.
Calculer une probabilité simple
Une probabilité est comprise entre 0 et 1. Une probabilité de 0 correspond à un événement impossible; une probabilité de 1 correspond à un événement certain.
- Écris l'ensemble des issues possibles et compte-les.
- Compte les issues qui réalisent l'événement recherché.
- Divise le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues.
- Simplifie la fraction et vérifie que le résultat est entre 0 et 1.
P(A) = nombre d'issues favorables ÷ nombre d'issues possibles.
Cette formule directe s'applique lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, comme avec un dé équilibré ou une pièce équilibrée.
Exemple : lancer un dé
Pour obtenir un nombre pair, les issues favorables sont 2, 4 et 6.
Il y a 3 issues favorables sur 6, donc
P(nombre pair) = 3/6 = 1/2.
Événement contraire
L'événement contraire de
A, noté Ā ou
Ac, se réalise lorsque A ne se réalise
pas. Ainsi, P(Ā) = 1 − P(A).
La probabilité d'obtenir un nombre pair avec un dé vaut 1/2.
Le contraire est « obtenir un nombre impair » et sa probabilité vaut
1 − 1/2 = 1/2.
Réunir des événements incompatibles
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire lors de la même issue. Dans ce cas,
P(A ou B) = P(A) + P(B).
En un lancer, obtenir 1 et obtenir 2 sont incompatibles. La probabilité
d'obtenir 1 ou 2 vaut donc 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
À toi : Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4 avec un dé équilibré ?
Les issues favorables sont 5 et 6 : 2/6 = 1/3.
Expérimenter avec une urne
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule sans regarder. Chaque boule a la même chance d'être tirée.
| Couleur | Nombre de boules | Probabilité au premier tirage |
|---|---|---|
| Rouge | 3 | 3/5 |
| Bleue | 2 | 2/5 |
| Total | 5 | 1 |
Mini-défi : Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule rouge ?
Ne pas tirer rouge signifie tirer bleu. La probabilité vaut 2/5, ou encore 1 − 3/5 = 2/5.
Comprendre deux tirages successifs
Quand on effectue plusieurs tirages, il faut préciser si l'on remet la boule dans l'urne. Sans remise, le contenu de l'urne change après le premier tirage et les probabilités du second tirage changent aussi.
Au premier tirage, la probabilité d'obtenir rouge est 3/5.
Après ce tirage, il reste 2 boules rouges et 2 boules bleues sur 4;
la probabilité de tirer bleu ensuite est 2/4.
La probabilité du chemin « rouge puis bleu » est donc
3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
- Chaque embranchement représente une issue possible au tirage suivant.
- Les probabilités des branches issues d'un même point ont une somme égale à 1.
- Pour un chemin complet, on multiplie les probabilités rencontrées sur ce chemin.
- Premier tirage rouge :
3/5- Puis rouge :
2/4, donc chemin rouge-rouge :3/5 × 2/4 = 3/10. - Puis bleue :
2/4, donc chemin rouge-bleue :3/10.
- Puis rouge :
- Premier tirage bleu :
2/5- Puis rouge :
3/4, donc chemin bleu-rouge :2/5 × 3/4 = 3/10. - Puis bleue :
1/4, donc chemin bleu-bleu :2/5 × 1/4 = 1/10.
- Puis rouge :
La somme des probabilités des quatre chemins vaut bien 1.
Avec remise, les probabilités du second tirage restent
3/5
pour rouge et 2/5 pour bleu. Sans remise, elles dépendent de
la couleur obtenue au premier tirage.
Étudier un jeu de cartes
Un jeu standard contient 52 cartes : 4 couleurs (trèfle, carreau, cœur et pique) de 13 cartes chacune. Il contient aussi 4 As, un par couleur.
- Tirer un As :
4/52 = 1/13. - Tirer un cœur :
13/52 = 1/4. - Ne pas tirer un As :
1 − 1/13 = 12/13.
Vrai ou faux ? Dans un jeu de 52 cartes, la probabilité de tirer un cœur est la même que celle de tirer un As.
Faux. Il y a 13 cœurs, donc 13/52 = 1/4; il y a 4 As, donc 4/52 = 1/13.
À retenir
- L'univers rassemble toutes les issues possibles; un événement en rassemble certaines.
- Dans une situation équiprobable,
P(A) = issues favorables / issues possibles. - Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1, et
P(Ā) = 1 − P(A). - Pour des tirages successifs, précise toujours si le tirage se fait avec ou sans remise.
- Dans un arbre, on multiplie les probabilités le long d'un chemin et on additionne les chemins distincts qui réalisent l'événement recherché.
Exercices sur les probabilités
Pratiquer les notions vues dans ce cours.