Sommaire
Les intérêts simples et composés
📚 Application des suites à l'algèbre financière
Les intérêts simples
Lorsqu'un capital est placé sur un compte d'épargne pour une durée maximale d'un an, il produit un intérêt (simple) proportionnel au capital placé, au taux d'intérêt et à la durée du placement.
À la sortie de tes études, tu souhaites effectuer un emprunt de 1000 € dans une banque pour acheter une nouvelle voiture. La banque te propose de rembourser ton prêt à un taux d'intérêt semestriel de 2% dans 1 an.
📖 Vocabulaire et notations
- Le capital placé (ou emprunté) ou valeur actuelle : $C_0$
(somme exprimée en €)
- Le taux d'intérêt périodique : $i$
(exprimé en % ou sous forme décimale)
- La durée (nombre de période) du placement : $n$
(nombre de jours/mois/années depuis le début du placement)
💰 L'intérêt
Un capital $C_0$ placé à intérêt simple au taux d'intérêt $i$ pendant une durée de $n$ périodes, produit un intérêt $I$ tel que :
$$I = C_0 \cdot i \cdot n$$
📈 Valeur acquise
La valeur acquise par un capital $C_0$ placé à intérêt simple au taux $i$ pendant une durée $n$, est désignée par $C_n$. Sa valeur est donnée par :
$$C_n = C_0 + I = C_0 + C_0 \cdot i \cdot n = C_0(1 + i \cdot n)$$
Tu places 1500 € dans un fond d'investissement qui te promet une plus-value équivalente à un taux d'intérêt annuel de 5%. Quel sera le montant total que tu obtiendras en fin d'année ?
$C_n = 1500 \times (1 + 0,05 \times 1) = 1500 \times 1,05 = 1575$ €
🔄 Conversion de taux d'intérêts
Par convention, l'année bancaire compte 365 jours et pour des périodes inférieures à l'année, on compte le nombre exact de jours. Un mois correspond à un douzième d'année.
À partir d'un taux annuel $i_a$, on peut calculer :
- le taux quotidien : $i_q = \dfrac{i_a}{365}$
- le taux mensuel : $i_m = \dfrac{i_a}{12}$
- le taux trimestriel : $i_t = \dfrac{i_a}{4}$
- le taux semestriel : $i_s = \dfrac{i_a}{2}$
Les intérêts composés
Lorsqu'à la fin d'une période de placement, les intérêts sont ajoutés au capital et génèrent eux aussi des intérêts à la période suivante, on dit que le capital est placé à intérêts composés.
📊 Comparaison : intérêts simples vs composés
Considérons un capital de 1000 € sur une durée d'un an, avec un taux trimestriel de 6%.
| Période | Intérêts simples | Intérêts composés |
|---|---|---|
| Trimestre 1 | $1000 + 1000 \times 0,06 \times 1 = 1060$ € | $1000 \times (1 + 0,06) = 1060$ € |
| Trimestre 2 | $1000 + 1000 \times 0,06 \times 2 = 1120$ € | $1060 \times (1 + 0,06) = 1123,60$ € |
| Trimestre 3 | $1000 + 1000 \times 0,06 \times 3 = 1180$ € | $1123,60 \times (1 + 0,06) = 1191,01$ € |
| Trimestre 4 | $1000 + 1000 \times 0,06 \times 4 = 1240$ € | $1191,01 \times (1 + 0,06) = 1262,47$ € |
Observation : Avec les intérêts composés, le capital final est plus important !
💰 Formule pour les intérêts composés
En analysant le tableau ci-dessus :
$$C_1 = 1000(1 + 0,06)$$ $$C_2 = 1000(1 + 0,06)^2$$ $$C_3 = 1000(1 + 0,06)^3$$ $$C_4 = 1000(1 + 0,06)^4$$Si $C_0$ désigne le capital initial, $i$ le taux d'intérêt par période et $n$ le nombre de périodes de placement, la valeur acquise $C_n$ après $n$ périodes est :
$$C_n = C_0(1 + i)^n$$
On place un capital de 15 000 € au taux annuel de 2,5%, à intérêts composés pendant 4 ans.
$$C_n = 15000(1 + 0,025)^4 = 15000 \times 1,1038 = 16557,19 \text{ €}$$
Les taux équivalents
Deux taux sont équivalents si, appliqués à un même capital, pendant la même durée, ils donnent la même valeur acquise.
$$(1+i_{annuel}) = (1+i_{semestriel})^2 = (1+i_{trimestriel})^4 = (1+i_{mensuel})^{12}$$
Quel est le taux annuel équivalent à un taux mensuel de 2% ?
$1+i_{annuel} = (1,02)^{12}$
$i_{annuel} = (1,02)^{12} - 1 = 0,268$ soit 26,8%
Trouver la durée du placement
Pour résoudre une équation dont l'inconnue est un exposant, on utilise la fonction logarithme, notée log.
$$x = 10^y \quad \Leftrightarrow \quad y = \log x$$
📋 Propriétés des logarithmes
- Propriété 1 : $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$
- Propriété 2 : $\log a^r = r \cdot \log a$
🔧 Résoudre une équation de la forme $a^x = b$
$$a^x = b \Rightarrow \log a^x = \log b \Rightarrow x \cdot \log a = \log b$$ $$x = \frac{\log b}{\log a}$$
Résolvons l'équation $(1,035)^x = 1,229$
$$x = \frac{\log 1,229}{\log 1,035} = \frac{0,0892}{0,0149} = 5,99 \approx 6 \text{ ans}$$
📌 À retenir
- Les intérêts simples : $I = C_0 \cdot i \cdot n$
- Les intérêts composés : $C_n = C_0(1 + i)^n$
- Les taux équivalents donnent le même résultat sur la même durée
- Les logarithmes permettent de trouver la durée d'un placement
Exercices sur les intérêts
Pratiquer avec des exercices