Sommaire
Les équations du premier degré
Comprendre ce qu'est une équation
Une équation exprime une égalité dans laquelle apparaît une ou plusieurs inconnues. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent cette égalité vraie.
Une équation du premier degré à une inconnue peut se ramener à la forme
ax + b = 0, avec a ≠ 0, où x est
l'inconnue et a, b sont des nombres. Dans la forme générale
ax + b = cx + d, les termes en x sont de degré 1.
Dans 3x + 5 = 17, l'inconnue est x.
La valeur x = 4 est une solution, car
3 × 4 + 5 = 17.
QCM : Quelle égalité est une équation du premier degré ?
4x + 2 = 14x² + 2 = 144 + 2 = 14
La réponse est a) : l'inconnue y apparaît à la puissance 1.
Préserver l'égalité
On peut imaginer une balance : si les deux plateaux sont à l'équilibre, ajouter ou retirer la même quantité de chaque côté conserve l'équilibre. Pour isoler l'inconnue, on effectue donc la même opération sur les deux membres de l'équation.
Une égalité reste vraie si l'on ajoute ou soustrait un même nombre à ses deux membres, ou si l'on multiplie ou divise ses deux membres par un même nombre non nul.
- Développe les parenthèses si nécessaire.
- Regroupe les termes contenant l'inconnue d'un côté et les nombres de l'autre.
- Réduis chaque membre, puis divise par le coefficient de l'inconnue.
- Vérifie la valeur obtenue dans l'équation de départ.
Le raccourci « un terme change de côté, donc son signe change » résume une opération effectuée aux deux membres. Pour éviter les erreurs, écris les étapes d'égalité, surtout au début.
Résoudre les équations étape par étape
Ajouter ou soustraire
x + 7 = 19.
- On soustrait 7 aux deux membres :
x + 7 − 7 = 19 − 7. - On obtient
x = 12.
Multiplier ou diviser
5x = 35.
- On divise les deux membres par 5 :
5x ÷ 5 = 35 ÷ 5. - On obtient
x = 7.
Combiner plusieurs opérations
4x − 3 = 13.
- On ajoute 3 aux deux membres :
4x = 16. - On divise par 4 :
x = 4.
Choisis la transformation : pour commencer à résoudre 3x + 8 = 20, quelle opération effectues-tu aux deux membres ?
- Ajouter 8
- Soustraire 8
- Diviser par 3
La bonne transformation est b) : soustraire 8 donne 3x = 12, puis x = 4.
Traiter les parenthèses et l'inconnue des deux côtés
2(x + 3) = 18.
- On développe :
2x + 6 = 18. - On soustrait 6 aux deux membres :
2x = 12. - On divise par 2 :
x = 6.
5x + 2 = 2x + 14.
- On soustrait
2xaux deux membres :3x + 2 = 14. - On soustrait 2 :
3x = 12. - On divise par 3 :
x = 4.
Cas particuliers
Après réduction, si les termes en x disparaissent, compare les
nombres restants : une égalité vraie pour tout x donne une
infinité de solutions; une égalité fausse ne donne aucune solution.
2(x + 1) = 2x + 2se réduit à2 = 2: tous les nombres réels sont solutions.2(x + 1) = 2x + 5se réduit à2 = 5: il n'y a aucune solution.
Vérifier une solution
Remplace l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation initiale, puis calcule séparément le membre de gauche et celui de droite. La valeur est solution si les deux résultats sont égaux.
x = 4 résout 3x + 5 = 17.
Membre de gauche : 3 × 4 + 5 = 17. Membre de droite : 17. L'égalité est vraie.
Vrai ou faux ? x = 3 est une solution de 2x + 1 = 7.
Vrai. En remplaçant x par 3, on obtient 2 × 3 + 1 = 7.
Modéliser un problème concret
- Choisis l'inconnue et précise ce qu'elle représente.
- Traduis les informations du problème par une égalité.
- Résous l'équation, puis vérifie le résultat dans la situation.
- Rédige une réponse avec l'unité et le contexte.
Après une remise de 6 €, un article coûte 27 €. On note x
son prix avant la remise. La situation se traduit par
x − 6 = 27, donc x = 33. Le prix initial était
33 €.
À toi : Un trajet en taxi coûte 4 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre. Le total est de 18 €. Combien de kilomètres le taxi a-t-il parcourus ?
On note x le nombre de kilomètres : 4 + 2x = 18, donc 2x = 14 et x = 7. Le trajet mesure 7 km.
Exercices de synthèse
Résous : 7x − 9 = 26.
On ajoute 9 : 7x = 35. On divise par 7 : x = 5. Vérification : 7 × 5 − 9 = 26.
Résous : 3(x − 2) + 4 = 2x + 8.
On développe et réduit : 3x − 2 = 2x + 8. On soustrait 2x, puis on ajoute 2 : x = 10.
À retenir
- Résoudre une équation, c'est trouver les valeurs qui rendent l'égalité vraie.
- On conserve l'égalité en effectuant la même opération aux deux membres; on ne divise jamais par zéro.
- On regroupe les inconnues d'un côté, les nombres de l'autre, puis on isole l'inconnue.
- On vérifie la solution dans l'équation de départ et on répond au problème avec son unité.
- Selon l'équation réduite, il peut y avoir une solution, aucune solution ou une infinité de solutions.