Rappels sur les graphes

On considère un point M dans un repère. Son abscisse est notée \(x_M\) et son ordonnée \(y_M\).
Ses coordonnées sont donc \((x_M ; y_M)\).

Applications

Compléter un tableau à partir d'un graphique

x	y = f(x)
-3
-2
-1
0
	4
	1
	-2

Voir la réponse

x	y = f(x)
-3
-2
-1
0
	4
	1
	-2

Compléter un graphique à partir d'un tableau

x	y = f(x)
-4	-3
-2	-1
0	1
2	3
4	5

Notions de fonctions

Exploration : vol d'un vautour

Samuel, ornithologue, a enregistré l'altitude d'un vautour au cours du temps. Voici la courbe obtenue :

Population à Manage

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Dans l'exemple du vautour : l'heure est la variable indépendante, l'altitude est la variable dépendante.

Représentations d'une fonction

Une fonction peut être représentée :

• par un tableau de valeurs (partiel),
• par un graphique (complet mais parfois imprécis),
• par une expression algébrique (précise et complète).

x	f(x)
-3	8
-2	3
-1	0
0	-1
1	0
2	3
3	8
4	15

Image et antécédent

Une image possède au maximum une valeur, mais une image peut avoir plusieurs antécédents.

Applications

Quels graphiques représentent une fonction ?

Compléter un tableau : \(f(x) = -x + 2\)

x	f(x)
-2
-1
0
1
2

Lecture graphique

• Image de -1.5 ?
• Image de 0 ?
• Antécédent de -4 ?
• Antécédent de 1 ?
• f(2) ?
• f(3) ?

• f(4) ?
• f(-1) ?
• Antécédents de 2 ?
• f(...) = -3.125
• L'image de ... vaut 2
• Un antécédent de ... vaut 3

• Image de -1 ?
• Image de -4 ?
• Antécédent de 2 ?
• f(3) ?
• Antécédent de -2 ?
• f(0) ?

• Image de -1.5 ?
• Image de 0 ?
• Antécédent de -4 ?
• Antécédent de 0 ?
• f(2) ?
• f(3) ?

Domaine, ensemble-image et intersections

Exploration : températures

• Période observée ?
• Intervalle des températures ?
• Température au début ?
• Moments où \(T = 0^\circ\) ?

Domaine de définition

Ensemble-image

Notation des intervalles

L'ensemble des valeurs possibles est l'ensemble des réels. Il se note ℝ.

Si on veut exprimer l'ensemble des réels sauf le nombre a, on note : ℝ \ {a}. Le symbole \ signifie 'moins'.

Si on veut réunir deux intervalles, on utilise le symbole ∪ (union). Par exemple :
\[ \mathbb{R} \setminus \{1\} = \left. \leftarrow; 1\right[ \cup \left]1;\rightarrow \right. \]

Racines et ordonnée à l'origine

Graphiquement, les racines d'une fonction sont les abscisses des points d'intersection entre le graphe de \(f\) et l'axe des abscisses.

On peut aussi dire que les racines sont les antécédents de la valeur zéro.

Pour la fonction de l'exploration 'Température', l'ordonnée à l'origine est -4°C et les racines sont 9 h et 21 h.

Applications

Analyse de graphes

Pour chacune des fonctions ci-dessous, réponds aux questions :

• Domaine de \(f\)
• Ensemble-image de \(f\)
• Racines de \(f\)
• Ordonnée à l'origine

Deuxième série

Pour chacune des fonctions ci-dessous, réponds aux questions :

• Domaine de \(f\)
• Ensemble-image de \(f\)
• Racines de \(f\)
• Ordonnée à l'origine

Signe d'une fonction

Exploration

On analyse l'évolution de la température un jour d'hiver telle que représentée à la figure ci-dessous.

1. Quelle est la température au début du jour ?
2. Quand la température est-elle nulle ?
3. Repasse en vert les points du graphique qui correspondent à une température positive et en rouge ceux correspondant à une température négative.
4. Quand la température est-elle négative ?
5. Complète le tableau suivant qui rassemble les informations liées au signe de la température.

Précise le(s) intervalle(s) où la fonction est strictement positive.

Savoirs

Étudier le signe d'une fonction consiste à repérer les intervalles sur lesquels la fonction est positive ou négative. On notera aussi les valeurs particulières que sont les racines puisque la fonction vaut alors zéro.

Exemples :

On voit sur la figure ci-dessus que la fonction \(f\) est positive sur \([-2;4]\) et que la fonction \(f\) est négative sur \([-3;-2]\) et sur \([4;\rightarrow[\).

Remarque :

Une fonction \(f\) est strictement positive sur un intervalle \(I\) si et seulement si, pour tout \(x\) de cet intervalle, les images sont strictement positives, c'est-à-dire \(f(x)>0\).

Une fonction \(f\) est strictement négative sur un intervalle \(I\) si et seulement si, pour tout \(x\) de cet intervalle, les images sont strictement négatives, c'est-à-dire \(f(x)<0\).

Sur la figure ci-dessus, on voit que la fonction est strictement positive sur ]-2;4[. Elle est strictement négative sur [-3;-2[ et sur ]4;\rightarrow[.

Pour rassembler les informations liées au signe d'une fonction, on peut réaliser un tableau de signe. Ce tableau indique, pour toutes les valeurs de la variable, le signe et les racines de la fonction. On y repère également le domaine de la fonction puisqu'il faut indiquer clairement s'il n'y a pas d'image, et donc de signe pour certaines valeurs de la variable.

Exemple :

Pour la fonction représentée à la figure ci-dessus :