Sommaire
Approche graphique d'une fonction
Rappels sur les graphes
Un repère cartésien est constitué de deux droites graduées et orientées, appelées axes.
L'axe horizontal est l'axe des abscisses (\(x\)) et l'axe vertical est l'axe des ordonnées (\(y\)).
Si les axes sont perpendiculaires, le repère est orthogonal. S'ils sont en plus gradués avec la même unité, il est orthonormé.
On considère un point M dans un repère.
Son abscisse est notée \(x_M\) et son ordonnée \(y_M\).
Ses coordonnées sont donc \((x_M ; y_M)\).
Dans la figure ci-dessus :
- L'abscisse de A vaut \(2\)
- L'ordonnée de B vaut \(-2\)
- Les coordonnées de C sont \((-2 ; 3)\)
Applications
À toi de jouer !
Place les points suivants dans le repère :
- A(-4 ; 2)
- B(3 ; 1)
- C(1 ; -1)
- D(3 ; 2)
- E(-1 ; -3)
Clique sur le repère pour placer les points. Tu peux ensuite les déplacer si nécessaire.
Considérons la courbe \(f\) représentée ci-dessous. Complète le tableau à partir du graphique.
| \(x\) | \(y\) |
|---|---|
| -3 | |
| -2 | |
| -1 | |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4,5 |
Notions de fonctions
Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction \(f\) est une relation qui associe à chaque valeur de la variable \(x\) une unique image \(y\). On note : \(y = f(x)\).
- Sur la figure de gauche, on remarque que lorsque \(x = 3\), le \(y\) correspondant est unique : \(y = 4\).
- La figure de gauche représente une fonction.
- Sur la figure de droite, lorsque \(x = 2\), le \(y\) correspondant n'est pas unique.
- Celle de droite représente une relation qui n'est pas une fonction.
Graphiquement, une relation est une fonction si et seulement si toute droite verticale a une seule intersection avec le graphe de la fonction.
Quels graphiques représentent une fonction ?
Seuls les graphiques A et D représentent des fonctions.
En effet, pour les autres graphiques, certains antécédents ont plusieurs images.
Représentations d'une fonction
Une fonction peut être représentée :
- par une expression algébrique (précise et complète) : \(f(x) = x^2 - 1\),
- par un tableau de valeurs (partiel),
- par un graphique (complet mais parfois imprécis).
Considérons la fonction \(f(x) = x^2 - 1\)
Pour calculer l'image d'un nombre \(x\) par une fonction \(f\), on remplace \(x\) par ce nombre dans l'expression de la fonction:- \(f(1) = 1^2 - 1 = 0\) (L'image de 1 est 0)
- \(f(2) = 2^2 - 1 = 3\)
- \(f(0) = 0^2 - 1 = -1\)
| \(x\) | \(y = f(x)\) |
|---|---|
| -3 | \( f(-3) = (-3)^2 - 1 = 8 \) |
| -2 | \( f(-2) = (-2)^2 - 1 = 3 \) |
| -1 | \( f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0 \) |
| 0 | \( f(0) = 0^2 - 1 = -1 \) |
| 1 | \( f(1) = 1^2 - 1 = 0 \) |
| 2 | \( f(2) = 2^2 - 1 = 3 \) |
| 3 | \( f(3) = 3^2 - 1 = 8 \) |
| 4 | \( f(4) = 4^2 - 1 = 15 \) |
Pour placer un point sur le graphique d'une fonction, nous utiliserons le tableau de valeurs.
Chaque couple \((x ; f(x))\) correspond à un point dans le repère.
Question : Que vaut \(f(5)\) ?
\(f(5) = 5^2 - 1 = 24\)
Complète le tableau de valeurs et place les points dans le repère.
1. Complète le tableau
| \(x\) | \(f(x)=\dfrac{1}{2}x-3\) |
|---|---|
| -3 | |
| -2 | |
| 1 | |
| 4 |
2. Place les points dans le repère
Place les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) correspondant à ton tableau.